Xem hàng loạt tài liệu Lớp 8: tại đây
Với Chứng minh quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học viên ôn tập, củng cố kỹ năng và kiến thức từ đó biết cách làm những dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 4: Hình lăng trụ đứng – Hình chóp đều để đạt điểm cao trong những bài thi môn Toán 8.
Dạng bài: Chứng minh những quan hệ song song, vuông góc, bằng nhau trong hình chóp đều
A. Phương pháp giải
+) Vận dụng những tín hiệu nhận ra những quan hệ song song, vuông góc.
+) Chú ý rằng trong hình chóp đều thì:
– Các cạnh đáy bằng nhau.
– Các cạnh bên bằng nhau.
– Các trung đoạn bằng nhau.
B. Ví dụ minh họa
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD.
a) Chứng minh rằng
b) Chứng minh rằng
Lời giải:
a) Ta lần lượt có:
Từ (1), (2) suy ra
b. Từ hiệu quả câu a), ta có: (3)
Mặt khác, vì ABCD là hình vuông vắn nên (4)
Từ (3) và (4) suy ra:
Câu 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có ABCD là hình vuông. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O1 là giao điểm của A1C1 và B1D1. Chứng minh rằng:
a) BDD1B1 là hình chữ nhật.
b) OO1⊥ (ABCD)
Lời giải:
a) Từ giả thiết ABCD.A1B1C1D1 là hình hộp chữ nhật nên những mặt bên ( BB1A1A ),( BB1C1C ) là hình chữ nhật, do đó ta có:
⇒ BB1⊥ mp (ABCD)
Mặt khác đường chéo BD ⊂ mp (ABCD) và đi qua B nên:
BB1⊥ BD ⇒
Chứng minh tựa như như trên, ta cũng được:
Điều đó chứng tỏ tứ giác BDD1B1 có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
b) Chứng minh tựa như như câu a, ta có tứ giác ACC1A1 là hình chữ nhật
Áp dụng đặc thù đường chéo và những hình vuông ABCD, A1B1C1D1 ta được O là trung điểm của AC và BD và O1 là trung điểm của A1C1 và B1D1
⇒ OO1 là đường trung bình của các hình chữ nhật BDD1B1 và ACC1A1
Do đó: OO1//BB1//DD1//AA1//CC1
Suy ra:
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều và SA là đường cao của hình chóp. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng
b) Cho biết
chứng tỏ rằng diện tích quy hoạnh quy hoạnh tam giác BCS bằng tổng diện tích của các tam giác ABS và ACS.
chứng minh rằng diện tích tam giác BCS bằng tổng diện tích của các tam giác ABS và ACS.
Giải.
Xét ∆SBC cân tại S có M là trung điểm BC
(1)
Xét ∆ABC đều có M là trung điểm BC.
(2)
Từ (1), (2)
Mặt khác nên
b) Xét ∆SAM vuông tại A, nên hay SM=2SA
Diện tích ∆BCS là:
Tổng diện tích các ∆ABS và ∆ACS là:
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
C. Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho hình chóp đều tam giác S.ABC. Gọi M, N, D và E lần lượt là trung điểm của AB, AC, SB và SC. Gọi O là giao điểm của BN và CM.
a) Chứng minh rằng tứ giác EDMN là hình bình hành;
Câu 2: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD, đường cao SO. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng:
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD. Gọi E, F, M lần lượt là trung điểm của SA, SD và BC. Chứng minh rằng:
a) CF//EM.
b) Tứ giác FEBC là hình thang cân.
Câu 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Gọi G và H thứ tự là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC.
a) Chứng minh rằng GH//SA.
b) GH song song với những mặt phẳng nào?
Câu 5: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD. Trên các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’, D’ sao cho Sa’=SB’=SC’=SD’. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm A’, B’, C, D’ cùng thuộc một mặt phẳng. Có nhận xét gì về mặt phẳng (A’B’C’D’) và mp(ABCD).
b)
Câu 6: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD. Cho biết . Chứng minh rằng các mặt bên là những tam giác đều.
Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, các mặt bên là những tam giác vuông cân tại S.
a) Chứng minh rằng mỗi mặt bên vuông góc với hai mặt bên còn lại.
b) Gọi độ dài của mỗi cạnh đáy là a, Tính chiều cao của hình chóp.